في الرياضيات، تربط المعادلة التفاضلية بين دالة واحدة أو أكثر وبين مشتقاتها. وهناك العديد من المعادلات التفاضلية ولكن الأهم هو الاختلاف بين المعادلة التفاضلية الجزئية والعادية فهما أهم دالتين تفاضليتين. وتسمى المعادلة التي تحتوي على مشتق دالة غير معروفة باسم المعادلة التفاضلية.
الاختلاف بين المعادلة التفاضلية الجزئية والعادية
تستخدم المعادلات التفاضلية بشكل أساسي في مجالات البيولوجيا والفيزياء والهندسة والكيمياء والعديد من المجالات. والغرض الرئيسي منها هو دراسة الحلول التي تلبي المعادلات. كما تدرس خصائص وظائفها من خلال صنع صيغ خاصة. وحل المعادلة التفاضلية يعني إيجاد قيمة المتغير التابع من حيث المتغير المستقل. تتم الإشارة إلى المتغير التابع بالرمز y، أما المتغير المستقل فنشير إليه بالرمز x. لذلك فإن الهدف من كل مشكلة أو معادلة تفاضلية هو إيجاد قيمة y بدلالة x.
قد يهمك أيضًا: مصطلحات علم الرياضيات المشهوره
ما هي المعادلة التفاضلية
قد يهمك أيضًا: ما هي الدالة الموجية
المعادلة التفاضلية هي عبارة عن معادلة تحتوي على مشتقات لدوال رياضية ويكون مشتق واحد على الأقل، إما مشتق عادي أو مشتق جزئي. وتكون هذه المشتقات هي المتغيرات الخاصة بالمعادلة. لذلك يكون الهدف من حل المعادلة إيجاد قيمة هذه الدوال الرياضية. عندما تحتوي المعادلة على متغير واحد فقط فإنه يسمى المتغير التابع حيث يعتمد على متغير آخر يعرف بالمتغير المستقل. وقد تحتوي أو لا تحتوي المعادلات التفاضلية على أكثر من متغير تابع أو مستقل. كذلك يمثل المشتق معدل التغيير في المعادلة، والمعادلة التفاضلية تصف العلاقة بين الكمية التي تتغير باستمرار فيما يتعلق بالتغير في كمية أخرى. وتعرف رتبة المعادلة برتبة المشتق الموجود بها، فإذا احتوت المعادلة التفاضلية على مشتق واحد فقط فإنها تكون معادلة من الرتبة الأولى. كذلك إذا احتوت على مشتق أول ومشتق ثاني فإنها تكون معادلة من الرتبة الثانية.
ما هي المعادلة التفاضلية العادية
المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تحتوي على متغير مستقل واحد، وواحد أو أكثر من مشتقاتها فيما يتعلق بالمتغير التابع. وبالتالي يتم تمثيل المعادلة التفاضلية العادية كعلاقة لها متغير مستقل واحد وهو المتغير x. أما المتغير التابع فيكون المتغير y. كما يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية العادية متجانسة أو غير متجانسة ولا تحتوي على مشتقات جزئية. وفيما يلي مثال على المعادلة التفاضلية العادية:
في المعادلة التفاضلية العادية غالبًا ما يكون هدفنا حل المعادلة نفسها وتحديد الوظيفة أو الوظائف التي تحقق المعادلة وإظهار العلاقة بين المتغير ومشتقاته أو الدالة ومشتقاتها. وفيها نحتاج إلى إيجاد المشتق العكسي حتى نتمكن من حلها. وبحل المعادلة فإننا نعني إيجاد جميع الدوال التابعة التي تحقق هذه المعادلة. يتم استخدام المعادلات التفاضلية العادلية في تفسير الظواهر العلمية الفيزيائية والكيميائية ومعرفة سرعة الأجسام ومواقعها.
قد يهمك أيضًا: من هو مخترع الرياضيات
ما هي المعادلة التفاضلية الجزئية
تسمى المعادلة التفاضلية بالجزئية حينما تتضمن مشتقات جزئية فقط لأكثر من متغير مستقل. أي أنها تتضمن توابع مجهولة لها متحولات مستقلة. وفيما يلي أمثلة على المعادلة التفاضلية الجزئية:
يتم استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية لصياغة وحل المسائل الرياضية التي لها علاقة بالصوت والحرارة والكهرباء والمرونة وغيرها من الظواهر الفيزيائية.
قد يهمك أيضًا: ما هي نظرية الحقل الكمومي
كيف نفرق بين المعادلتين العادية والجزئية
إن كلتا المعادلتين التفاضليتين تتضمن مشتقات. تتضمن المعادلات التفاضلية العادية مشتقات في متغير واحد فقط، وفيها يمكننا عرض المتغير المستقل الفردي كمتغير زمني بحيث تتحكم المعادلة التفاضلية العادية في حركة أو تدفق كائن ما في وقت محدد. بينما تشتمل المعادلات الجزئية على مشتقات في متغيرات متعددة. من الهام تحديد نوع المعادلة التفاضلية لأجل معرفة الطريقة الأمثل لحلها فكل معادلة لها طريقة حل محددة. كما يمكن حل المعادلة الواحدة بعدد لا حصر له من الطرق والحلول ولكن بالطريقة المناسبة فقط لنوع المعادلة.
قد يهمك أيضًا: كيفية حساب محيط المثلث متساوي الساقين
